连续时间信号与离散时间信号

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连续时间信号与离散时间信号

前言

《信号与系统》是一门很难的课，也是许多学校考研要考的专业课，由于每周只有两节课，所以每次上完都要及时的去复习，这里参考的教材是奥本海姆著作，刘海棠译，北京：电子工业出版社，2013年。

信号类型的区分

确定信号与随机信号

确定信号：若被表示为一确定的时间函数，知道某一时间即可得知当前的信号信息。

随机信号：带有随机的特点，无法预测，不能用函数表示，只能用概率统计的方法描述的信号。

连续信号与离散信号

连续信号：连续时间范围内有定义的信号，自变量用t表示。

离散信号：在时间上表示离散，仅能用整数表示，自变量用n表示。

在连续信号的情况下，对于1欧姆的电阻上，不管是电压信号u(t)还是电流信号i(t)，都将其定义为x(t)，则其瞬间功率为 $|x(t)|^{2}$ 。

能量： $E= \\int^{T}_{-T}|x(t)|^{2}dt$

若 $T \\to \\infty$ ， $E= \\lim_{T \\to \\infty}\\int^{T}_{-T}|x(t)|^{2}dt$

平均功率： $P= \\lim\\limits_{T \\to+\\infty}\\frac{1}{2T}\\int^{T}_{-T}|x(t)|^{2}dt$

那么对于离散信号

能量： $E= \\lim\\limits_{N \\to+\\infty}\\sum ^{N}_{n=-N}|x[n]|^{2}$

平均功率： $P= \\lim\\limits_{N \\to+\\infty}\\frac{1}{2N+1}\\sum ^{N}_{n=-N}|x[n]|^{2}$

能量信号与功率信号

能量： $E= \\lim_{T \\to \\infty}\\int^{T}_{-T}|x(t)|^{2}dt$ 平均功率： $P= \\lim\\limits_{T \\to+\\infty}\\frac{1}{2T}\\int^{T}_{-T}|x(t)|^{2}dt$

可以看出 $P= \\lim\\limits_{T \\to+\\infty}\\frac{E_{\\infty}}{2T}$

若 $P\\to 0,0<E<\\infty$ ，则将x(t)或x[n]称为能量信号（ $E<\\infty,p=0$ ，E有界）。

若 $E\\to \\infty,0<P<\\infty$ ，则将x(t)或x[n]称为功率信号（ $P<\\infty,E=\\infty$ ，P有界）。

可以这样理解，当信号具有有限的能量，即 $E_{\\infty}$ ，这种信号的平均功率必为0；第二种信号就是其平均功率 $P_{\\infty}$ 有限的信号，如果 $P_{\\infty}>0$ ，必有 $E_{\\infty}=\\infty$ ，因为如果单位时间内有某一个非零的平均功率，在无限积分或求和就必然得出无限大的能量值。

第三类信号就是 $P_{\\infty}$ 和 $E_{\\infty}$ 都不是有限的。

如果这样说还是不能理解，那么就举些例子，比如信号在 $0\\leq t\\leq 1$ 内为1，在此区间外为0就是有限能量信号的另一个例子，此时 $E_{\\infty}=1,P_{\\infty}=0$ ，例如常数x[n]=4就具有无限能量，但是平均功率 $P_{\\infty}=16$ ，在看信号x(t)=t， $P_{\\infty}$ 和 $E_{\\infty}$ 都不是有限的。